Математика "северного Леонардо"

Нашему времени свойственно стремление к возрождению. Его приметы чувствуются во всем укладе современной жизни: в экономике, политике, духовном самосознании. Это заставляет обратить свой взор в близкое или далекое прошлое человечества.

Альбрехт Дюрер, кто он? Художник, график, золотых дел мастер, открытый и искренний человек, математик. Более четырех столетий прошло с тех пор, когда жил и творил этот неповторимый добрый гений. Но, в который раз всматриваясь в его автопортреты, восхищаясь уникальными гравюрами мастера, решая геометрические задачи божественного титана, не устаешь удивляться многогранности таланта великого человека эпохи Возрождения.

Как и его известные современники, А.Дюрер был художником и ученым. Точное знание служило ему ключом к открытию истины - правды искусства и правды жизни.

Стремясь постигнуть сущность прекрасного, великие мастера эпохи Возрождения приходили к убеждению, что красота в природе и искусстве подчинена одним и тем же законам, которые можно выразить математическими средствами. Такая мысль родилась у А.Дюрера во время путешествия по Италии, где он познакомился с рисунками Мантеньи. Этот итальянский художник стремился соединить искусство с наукой, изучал физику, математику, читал научные трактаты, занимался археологией. Кроме того, А.Дюрер жил в немецком городе Нюрнберге, в котором поощрялось и ценилось развитие ремесел, техники, прикладного искусства, науки. Сочетание природного таланта, необыкновенного трудолюбия и стремления к знаниям определило широту интересов и высокую степень мастерства великого художника, графика, ученого немецкого Возрождения, которого называли "северным Леонардо".

- Об А.Дюрере написаны сотни книг, его классические художественные произведения известны всем, кто профессионально занимается живописью и графикой. Его искусство хорошо знакомо тем, кто любит этого художника. И непростительно забытым оказывается его научное наследие. А ведь оно заключает в себе не только сведения об истории развития научного знания, но и глубокий потенциал эстетического воздействия на души воспитанников.

Каждый открывает в искусстве то, что наиболее близко собственному видению мира. Как важно для учителя открыть этот мир своему ученику. Мир художественных созданий А.Дюрера представляется невыразимо прекрасным и противоречивым. В нем совершенство и хаос: гармония и простота, покой и страдание, борьба и умиротворение. Произведения художника проникают в нашу душу, возвышают ее над повседневной суетой и однообразием, зовут к размышлениям о вечных философских вопросах - о красоте, смысле жизни, познании истины.

Взгляните на автопортрет А.Дюрера 1500 г.

Облик художника отталкивает и притягивает. Он кажется полным могучего чувства, которое скрыто в выразительном взгляде, тонких пальцах, всем образе автора. Мастер написал себя таким, каким хотел видеть, размышляя о великом призвании художника. Художник, который служит прекрасному, должен быть прекрасен и сам. Поэтому А.Дюрер уподобил свой облик образу Христа. Истинный художник - проповедник веры, добра, справедливости, красоты. Красота для А.Дюрера была словно горящей звездой, которая освещала весь его жизненный путь. Познание красоты, стремление к совершенству вдохновляли художника, открывали ему правду жизни и правду искусства. Воплощая собственные устремления о великой роли художника, он подчинил автопортрет возвышенному представлению об идеально красивом лице. Позже в "Четырех книгах о пропорциях человеческого тела" он так опишет эти идеальные пропорции. "Если принять длину человеческого тела за L , то длина головы равна 1/8 L, лица - 1/10 L, туловища - 1/2 L, руки до локтя - 1/4 L. Ширина груди - 1/6 L, плеч - 1/4 L, длина кисти - 1/10 L, ступни - 1/6 L. Наконец, должна быть соблюдена следующая пропорция: туловище относится к бедру так, как бедро к голени. Что касается построения головы, то здесь такие пропорции: голова : лицо = 5:4, откуда следует, что высота темени равна 1/40 L". Все части автопортрета, как и многие произведения А.Дюрера, просчитаны и уравновешены, подчинены строгим математическим отношениям.

Очень трудно оторваться от автопортрета и все-таки обратимся к научному наследию А.Дюрера, который занимался архитектурой, теорией фортификации и градостроительства, интересовался гуманитарными и естественными науками. Одно из его крупных научных сочинений "Руководство к измерению с помощью циркуля и линейки" явилось в свое время первым учебником геометрии в Германии. Значение его было особенно велико в связи с тем, что оно написано на разговорном немецком языке и предназначалось для читателей, не знакомых с латынью. А.Дюрер был одним из создателей немецкой геометрической терминологии. Он избегал иностранных слов и пытался выразить геометрические понятия с помощью равноценных по смыслу немецких выражений, что в его время было подлинным новаторством.

"Руководство..." состоит из четырех книг, в которых рассматриваются вопросы геометрии, интересовавшие А.Дюрера как художника-теоретика и исследователя-математика. В этих книгах даются определения геометрических фигур: параллельных прямых, угла, спирали, приводятся методы построения правильных многоугольников. Хотя многие задачи, которые решал А.Дюрер, в современном изложении допускают более простое решение, все-таки они отличаются оригинальностью и скрупулезностью. Вот как решает он задачу о трисекции отрезка (делении данного отрезка на три равные части).

Задача. Дан отрезок АВ. С помощью циркуля и линейки разделите его на три равные части (рис. 1).

Построение. 1) проведем отрезок АВ;

2) из точки А проведем окружность произвольного радиуса, которая пересекает отрезок АВ в точке Д, а его продолжение за точку А - в точке С;

3) из точек С и Д проводим окружности радиусом большим СД, пересекающиеся в точках М и N, через полученные точки проводим прямую МN, которая перпендикулярна прямой АВ;

4) возьмем произвольную точку Р прямой МN и проведем через нее прямую РК, перпендикулярную прямой МN; прямые АВ и РК будут параллельны;

5) от начала Р луча РМ отложим три равных отрезка РР1, Р1Р2, Р2Р3, каждый из которых меньше отрезка АВ;

6) через точки Р3 и В проведем прямую, которая пересечет прямую МN в точке Q;

7) проводим прямые Р2Q и Р1Q, которые и разделят отрезок АВ на три равные части, АА1 = А1А2 = А2В. Нетрудно доказать, используя подобие треугольников, что построенные части отрезка АВ действительно равны.

И еще одна задача, связанная с построением правильного восьмиугольника. Это построение также описано А.Дюрером.

Задача. Дан квадрат АВСД. Постройте с помощью циркуля и линейки, используя данный квадрат, правильный восьмиугольник.

Построение 1. Опишем около данного квадрата окружность, центр которой - точка пересечения диагоналей квадрата (рис. 2).

2. Каждую из дуг АВ, ВС, СД и ДА с помощью циркуля и линейки разделим пополам;

3. Соединим полученные точки деления и вершины квадрата, в результате получим правильный восьмиугольник, вписанный в окружность.

Помимо этих задач, в "Руководстве..." приводятся геометрические методы для решения прикладных задач, которые использовались архитекторами и строителями. А.Дюрер обьясняет действия с измерительными приборами, рассматривает конструкцию солнечных часов. Он приводит руководство к черчению художественно исполненных букв латинского и готического немецкого алфавитов.

Четвертую книгу "Руководства..." А.Дюрер посвятил чрезвычайно интересовавшей его как художника геометрической теории перспективы. Хорошей иллюстрацией этой теории может служить гравюра А.Дюрера "Святой Иероним в келье" (1514 г.) Гравюра прославляет труд ученого. Поэзия умственного труда пронизывает это произведение. Учение, как теплый солнечный свет, льется сквозь окна изображенной кельи. Этот пример показывает, какое важное значение имеет учение о перспективе для живописи. Но учение о перспективе - не чисто техническая дисциплина, которой навсегда отведена вспомогательная роль в архитектуре или живописи, а важный раздел математики, не утративший способности к развитию. Действительно, теория перспективы со временем развилась в проективную геометрию.

А.Дюрер уделял много внимания решению знаменитых задач древности о трисекции угла, квадратуре круга, удвоении куба. Он рассматривает многогранники и предлагает построение правильных и полуправильных тел. В четвертой книге "Руководства..." им описаны правильные многогранники, даются изображения разверток этих тел. Здесь он проявил себя первоклассным геометром. Взять хотя бы пример паркета, созданный А.Дюрером с помощью правильных пятиугольников (рис. 3).

А.Дюрер, как и многие его современники, верил в способность магических средств открыть человеку истину, скрытую для обычного знания. Может быть, поэтому на одной из его гравюр "Меланхолия" мы видим магический квадрат (рис. 4). Сумма чисел в столбце и каждой строчке одинакова и равна 34. Такое же число получается, если найти сумму чисел, расположенных по главным диагоналям квадрата. Сумма чисел, расположенных в одномерных угловых квадратах, и сумма чисел в угловых двумерных квадратах также равны 34. Получить такой квадрат можно очень просто. Для этого нужно взять квадрат, разделить его на 16 клеток и в каждую из них вписать по порядку числа от 1 до 16, а затем поменять местами числа, расположенные на главных диагоналях симметрично относительно центра, и магический квадрат построен. А.Дюрер переставил у своего квадрата два средних столбца (и это не повлияло на свойства квадрата) так, что числа в двух средних клетках нижней строки стали указывать дату создания гравюры - 1514 г.

Обязательно найдите и внимательно рассмотрите с ребятами эту гравюру. Открываешь много разных деталей, каждая из которых имеет глубокий символический смысл. Женщина, изображенная на гравюре, окружена различными предметами: часы, циркуль, линейка, весы. Сколько надежд связывал А.Дюрер с измерениями и вычислениями. Как часто ему казалось, что именно они откроют тайну прекрасного. И вот теперь женщина, погруженная в печальное раздумье, держит циркуль рассеянно и небрежно, а линейка брошена и валяется у ее ног. Может, этим автор хотел показать разочарование в циркуле и линейке как ключах к познанию красоты? И не надежды ли на скрытые тайные свойства чисел привели сюда магический квадрат?

Предметы точного измерения, атрибуты точных наук обьединены с принадлежностями и символами магии - видно, ни те, ни другие не избавили от меланхолической тоски существо, одержимое ею. И все-таки в женщине скрыта и чувствуется огромная внутренняя сила. "Меланхолия" - воплощение человека-творца, исповедь художника, нередко испытывающего отчаяние от непомерной тяжести той задачи, которую он взялся решить, но верного властному стремлению познать и воплотить окружающий мир. Этот мир А.Дюрер открывал, познавал и воплощал со всей силой и страстностью таланта художника, мыслителя, ученого.

Алексей АЗЕВИЧ,

учитель метематики, завуч 391-й московской школы