Мы продолжаем разговор о ситуации, сложившейся в школе №91 города Воронежа, когда 13 педагогов этой школы написали открытое письмо губернатору Воронежской области Алексею Гордееву и Президенту РФ Владимиру Путину. Поводом к этому послужила слишком большая разница между их реальными зарплатами (в среднем от 6 до 13 тысяч рублей) и теми данными (21 тысяча рублей), которыми местные чиновники отчитываются перед главой региона, а тот соответственно перед президентом страны.
Чтобы избежать таких проблем при решении задач такого рода, можно предложить обозначить всю работу какой-либо постоянной А, отличной от 1. Тогда производительность будет равна А/t. Этот путь немного длиннее, но ребятам он более понятен, потому что выражает реальный смысл задачи. А в конце задачи введенная вспомогательная величина для работы уничтожится.
Покажем это на примере одной задачи, приведенной в книге
В.С.Крамора "Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал
анализа".
Задача 1. Две
бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной
дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала
только одна бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая, производительность
которой более высокая, чем у первой бригады. В результате ремонт заданного
участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время
выполнила 2/3 всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги
каждой бригадой отдельно?
Решение. 1. Пусть
вся работа может быть выполнена первой бригадой за х дней, а второй - за y
дней.
2. Принимая работу за 1, ученики столкнутся со смысловой некорректностью,
которая заключается в следующем: производительность труда первой бригады будет
равна 1/х, а второй - 1/y. Возникает вопрос: в каких единицах измерить
производительность? В дорогах на день? Очевидно нарушение физического смысла
задачи.
3. Поэтому целесообразно обозначить всю работу (длину участка дороги) некоторой
величиной А, измеряемой в километрах. Тогда производительность труда первой
бригады равна А/х км/день, второй бригады - A/y км/день.
4. Составляем уравнение А/х. 18 + А/y. 18 = А. В дальнейшем введенная величина
А, как видно, сокращается, но она несет при решении задачи важную смысловую
нагрузку.
Окончательное решение задачи достаточно несложное, и приводить его нет
необходимости.
Иногда такой же подход, то есть принятие чего-либо за
единицу, используется для обозначения производительности труда.
Рассмотрим более подробно решение задачи, предложенной в
учебном пособии для 10-го класса И.Ф.Шарыгина "Факультативный курс по
математике: Решение задач".
Задача 2. Две
бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на
полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то
она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определить число землекопов в
каждой бригаде, если производительность у всех одинакова.
В указанном пособии предложено следующее решение задачи:
неизвестные: х - количество землекопов первой бригады, y - второй бригады, t -
время работы первой бригады. В этой задаче за 1 принимается производительность
труда каждого землекопа.
Из условия задачи
следует:
xt = y(t + 1/2),
xt = (x + 5)(t - 2).
Выражая t через x и y
из одного уравнения и подставляя в другое, получим после упрощений:
4x2 - 4xy + 20x - 25y = 0.
При этом x и y - натуральные числа. Выразим y через x:
y = 4x2 + 20x/4x + 25 = x - 5/4 + 125/4(4x+25).
Умножив последнее равенство на 4, получим: 4y = 4x - 5+ 125/(4x+25).
Из того, что x и y - натуральные числа, следует, что 4x + 25
является делителем 125. Значит, 4x+25=125. Отсюда следует, что x=25, y=24.
Нужно заметить, что данная задача является нестандартной, и
поэтому предложенный способ решения достаточно сложный для понимания всех
школьников. Составленные уравнения, в которых количество землекопов умножается
с временем, вызывают некоторое недоумение у детей, и учителю необходимо приложить
большое усилие, чтобы объяснить им целесообразность таких действий.
Предложим другой
способ решения этой задачи.
1. Пусть объем всей работы (объем котлована) равен А куб.м.
2. Количество землекопов в первой бригаде - x человек, во второй бригаде - y
человек.
3. Производительность труда одного землекопа равна B.
4. Первая бригада за час выполнит Bx часть всей работы, а вторая бригада - By.
5. Первая бригада потратит на всю работу A/Bx часов, вторая бригада - A/By
часов.
По условию A/By - A/Bx = 1/2. (1)
6. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она на всю работу
потратила бы A/B(x+5) часов. Получаем еще одно уравнение A/Bx - A/B(x+5) = 2.
(2) Умножив обе части уравнения (1) на 4, приравняем левые части уравнений (1)
и (2). Получим равенство 4A/By - 4A/Bx = A/Bx -
A/B(x+5). Вспомогательные переменные A и B в этом уравнении
сокращаются, и получим уравнение 4/y = 5/x - 1/x + 5, которое решим способом
выделения целой части дроби и учитывая, что x и y натуральные числа.
4/y = 5x + 25 - x/x(x + 5),
4/y = 4x + 25/x2 + 5x, y/4=x2 + 5x/4x + 25, y = 4(x2 + 5x)/4x + 25, y=4x2 +
25x-5x/4x + 25, y=x - 5x/4x + 25. Отсюда следует, что x=25, y=24.
При таком способе решения ученикам легко следить за ходом рассуждений, за составлением уравнений. Понятен им и физический смысл задачи, а это является важным моментом обучения детей решению задач, потому что если учащийся не поймет реальный смысл задачи, связь ее с практикой, то ему будет трудно понять и решение.
Кадыр Хабибуллин, кандидат педагогических наук, учитель математики и директор школы №12, Салават, Республика Башкортостан
