Если брать школьный курс математики, то можно условно выделить три основные группы таких требований.
Требования математического характера:
- требование достоверности: признаки понятия, указанные в определении, должны полностью соответствовать его общепринятому математическому содержанию;
- требование минимальности: понятие, фигурирующее в определяющем условии, должно быть ближайшим для определяемого родовым понятием;
- требование отсутствия избыточности: в определяющем условии не должно содержаться лишних конъюнктивных членов.
Приведем примеры ошибок, возникающих в результате нарушения требования достоверности: «Две прямые в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются» (опущено условие принадлежности этих прямых одной плоскости); «Медианой треугольника называется прямая, соединяющая…» (неправильно указано родовое понятие).

Требования логического характера (в широком смысле):
- требование взаимозаменяемости: определяемая и определяющая части могут быть заменены друг на друга в любом контексте;
- требование запрета порочного круга: недопустимо, чтобы первое понятие определялось через второе, а это второе - через первое, так как в результате оба понятия остаются неопределенными; и, в частности, требование запрета тавтологичности: понятие не может определяться через себя же;
- требование однозначности: в пределах одной теории каждому определяющему условию должно соответствовать только одно определяемое понятие (термин);
- требование отсутствия омонимии: в рамках одного источника (научной статьи или учебного пособия) каждый термин должен встречаться в качестве определяемого не более одного раза;
- требование непротиворечивости: объем определяемого понятия не должен быть пустым.
Например, нарушается требование запрета порочного круга, если учащиеся «определяют» прямой угол как угол с взаимно перпендикулярными сторонами. При этом на вопрос, какие прямые называются взаимно перпендикулярными, они отвечают: «Прямые, образующие при пересечении прямые углы». Нарушается требование запрета тавтологичности, если учащиеся «определяют» равные треугольники так: «Два треугольника называются равными, если они между собой равны».

Требования логического характера (в узком смысле):
- требование совпадения числа свободных переменных в определяемой и определяющей частях определения;
- недопустимость перестановки разноименных кванторов в определяющей части определения.
Приведем примеры нарушений этих требований. «Определяя» отношение делимости на множестве натуральных чисел, учащиеся иногда приводят такую формулировку: «Будем говорить, что натуральное число x делится на натуральное число y, если x=ky» (в правой части определения переменных больше, чем в левой). При попытке сформулировать определение ограниченного сверху множества учащиеся часто говорят следующее: «Числовое множество называется ограниченным сверху, если для любого элемента этого множества существует действительное число, большее или равное ему» (в определяющей части определения переставлены разноименные кванторы).
Заметим, что при одной и той же ошибке может быть нарушено несколько требований. Например, нарушение требования недопустимости перестановки разноименных кванторов в определяющей части влечет за собой нарушение требования достоверности определения.

Требования лингвистического характера:
- требование ясности, состоящее в запрете использования при формулировке определения терминов, не фигурирующих в данной теории;
- требование соблюдения норм естественного языка (прежде всего синтаксических норм, то есть норм построения предложений);
- в определении должно присутствовать слово «называется» («называют», «говорят») или аналогичное по смыслу словосочетание: «будем называть» («будем говорить»); при этом недопустимо в определениях употреблять слово «является», поскольку оно характерно для теорем;
- требование присутствия определяемой части: всякое определение рассматриваемого типа должно состоять из двух частей, причем в первой (определяемой) части присутствует новый термин, соответствующий определяемому понятию; во второй (определяющей) части используются только определенные ранее понятия.
Рассмотрим примеры нарушения этих требований. Нередко на уроках геометрии можно услышать такое «определение» биссектрисы угла: «Луч посередине угла называется биссектрисой» (нарушено требование ясности). Кроме того, часто учащиеся приводят следующие «определения» параллельных плоскостей: «Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек» и «Две плоскости являются параллельными, если они не имеют общих точек». Примером нарушения требования присутствия определяемой части может служить такая попытка сформулировать определение простого числа: «Это тогда, когда число имеет ровно два натуральных делителя».
Отметим, что нарушение одних требований влечет за собой ошибки в определениях математических понятий, а нарушение других приводит лишь к недостаткам. Другими словами, перечисленные требования различаются степенью неукоснительности их выполнения. Так, требование достоверности является обязательным, а требование минимальности носит рекомендательный характер. Например, определение «квадратом называется параллелограмм с равными сторонами и прямым углом» уступает по простоте другому - «квадратом называется прямоугольник с равными сторонами», но все же является определением. Иногда учащиеся определяют параллелограмм как четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Ясно, что такое определение страдает избыточностью, но тоже является определением.
Также обратим внимание на использование недопустимых словосочетаний в работе с определениями. Например, недопустимо употребление таких словосочетаний, как «неверное определение», «отрицание к определению», противоречащих самой сути понятия «определение» как особого вида договоренности.
Необходимо подчеркнуть, что учителя, несомненно, должны быть знакомы с перечисленными требованиями к определениям и обязательно знакомить с ними учеников.

Сергей БОЧАРОВ, учитель математики школы №1280