Вокруг нуля
Начинаю с простого: что такое четные числа? Буквально любой ученик с первого раза дает правильное определение: «Это числа, которые делятся на 2». Но я-то уже знаю заранее, что не стоит обольщаться быстрым и точным ответом. Дело в том, что многие дети плохо понимают, что такое «делится». Их приводит в растерянность простой вопрос: «А ноль четное число?» Обычно класс распадается на примерно равные половины: тех, кто считает, что ноль - четное число, и тех, кто считает, что его нельзя считать четным.
Типичный ответ: «Ноль делить нельзя»... Они слышали, что на ноль делить нельзя, но всё перепутали - ноль превратился в «неприкасаемое» число. Приходится привлекать здравый смысл: давайте, мол, попробуем «ничего» поделить на двоих - сколько получит каждый? Опять «ничего», значит, ноль разделить на 2 - это ноль, то есть результат деления - это целое число, следовательно, ноль - это четное число.
Делаем небольшой экскурс в историю, как долго математики не признавали ноль числом и почему все-таки признали. Что такое числа? На каком основании какой-то новый объект мы присоединяем к числам? Для этого подходит аналогия: есть клуб, и в него приходит новый человек, а его спрашивают: «Наши правила выполнять будешь?» - «Буду» - «Тогда тебя принимаем».
Числа целые можно складывать и вычитать, при этом результат будет целым числом. Ноль тоже можно прибавлять и вычитать. Целые числа можно умножать между собой и на ноль, при этом выполняются все законы: переместительный, сочетательный и распределительный, то есть ноль выполняет все правила, которые приняты для целых чисел, значит, его можно принять в «клуб» целых чисел.

А зачем это нужно?
Вывод вполне очевиден - детям недостаточно выучить правильные слова, им надо их осознать и прочувствовать, а для этого с каждым новым понятием нужно «поиграть», найти аналогии, обсудить мотивировки «за» и «против», понять, что же главное и второстепенное при принятии решения, как это происходило в истории. После таких обсуждений знания становятся прочными и основательными, а на их основе крепнет мышление.
Ведь мы же интуитивно чувствуем, что знания не главное, они дело наживное, а вот хорошее мышление дорогого стоит, оно в жизни пригодится, чем бы человек ни стал заниматься. Поэтому в школе важно самим понять и детей убедить, что уже добытые знания важны не сами по себе, а они прежде всего помогают нам развиваться.
Задумаемся: скольким из нас после школы пришлось применять теорему Пифагора, вычислять дискриминант или применять синусы и логарифмы? Так зачем же на них тратить время и силы миллионов школьников? Ответ только один - правильное преподавание математики эффективно развивает мышление, четкую речь, воображение и логику, умение ставить и решать задачи, умение доказывать свою правоту.
Иначе говоря, проверять на уроках математики нужно не только и не столько знания, сколько мышление, а для этого нужны не просто опросы, а диалоги. Нужна активность детей в процессе учения, их заинтересованность, тогда все остальное приложится. А если детей стращать двойками или ублажать пятерками, то далеко они не продвинутся.

Простые числа
Больное место в образовании - что такое простые числа, - большинство детей это плохо понимают. Типичное определение: «Это числа, которые делятся на единицу и сами на себя», при этом пропускают и не могут вспомнить ключевое слово - «только на единицу и само на себя», не замечая, что под это определение подходят все натуральные числа.
На мой взгляд, слабое понимание роли простых чисел влечет за собой проблемы с пониманием всей темы «Делимость», включая «основное свойство обыкновенной дроби», «наименьший общий знаменатель», «НОК и НОД», «степень с натуральным показателем». А если тема «Делимость натуральных чисел» плохо усвоена, то дальше будут проблемы с пропорциями, с алгебраическими дробями, разложением квадратного трехчлена на множители.


О нуле в уравнении
Непонимание основных понятий встречается даже у отличников. Если спросить: «Зачем в школе изучают формулы сокращенного умножения?», отличник начнет фантазировать, но главного не скажет. Даже не все учителя математики могут внятно объяснить цель изучения этих формул. А логическая цепочка такова: при решении задач возникают уравнения в виде многочленов, чтобы их решить, надо найти их корни, а чтобы найти корни, нужно разложить многочлен на линейные множители, вот этой цели и служат формулы сокращенного умножения.
У меня есть любимый вопрос для восьмиклассников: как решить уравнение: (х-1) (х-3)=0. Многие пытаются раскрыть скобки, привести подобные члены, потом посчитать дискриминант и применить формулу для решения квадратного уравнения. При этом они не понимают главного - что уравнение уже записано в максимально удобном для решения виде, осталось только выписать корни: х = 1, х = 3.
Кстати, в школе не принято говорить о делителях нуля, а детям это интересно и полезно. Ведь на чем основано решение уравнения (х-1)(х-3) =0? А на замечательном свойстве нуля, что произведение нескольких чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел равно нулю. Поэтому самый удобный вид уравнения, когда оно состоит из нескольких линейных выражений, произведение которых равно нулю. Делители нуля встречаются, например, в арифметике остатков: два числа с ненулевыми остатками от деления на 6 могут дать число с нулевым остатком, - числа 2 и 3.
Все школьники помнят, как мантру, что на ноль делить нельзя, но вот что происходит на практике. Самой страшной задачей для поступающих в 9-е и 10-е классы оказалась такая: решить уравнение: (x-1)2(x-2)=(2-x)(x-1)(x+1).
Большинство школьников заметили, что справа и слева стоят одинаковые множители (х - 1) и (х - 2), которые они тут же радостно сократили и при этом совершили две грубейшие ошибки. Во-первых, эти множители могут оказаться равными нулю, а на ноль делить нельзя, и во-вторых, если эти множители равны нулю, то они дают корни уравнения, которые при сокращении теряются.

Прямая и обратная пропорция
Задача. Одна корова съедает стог сена за 4 дня. За сколько дней 4 коровы съедят стог сена?
Большинство детей, увидев задачу на пропорцию, даже не задумываются о том, что пропорции бывают прямые и обратные, они автоматически пишут: «1 корова - 4 дня, 4 коровы - ?», получают абсурдный ответ, что 4 коровы съедят стог сена за большее время, чем одна корова, но не замечают этого и спокойно записывают ответ, вместо того чтобы немедленно заняться поиском ошибки.
Еще хуже, когда в ответе у них получается, что «скорость пешехода 2000 м/сек. или вес рюкзака девочки 700 кг, а для покрытия пола в комнате плитками 20х20 см понадобится 4 плитки и т. д. Никакой интуиции, числа для таких детей - это просто значки, с которыми можно делать известные операции, а реального смысла они не несут. Неужели такая математика нужна в школе?
Таким образом, существует проблема школьного образования, связанная с засильем условных задач с условными данными и абстрактных примеров на вычисления, результат которых не имеет никакого смысла, кроме сверки с ответом. Это приводит к тому, что у детей не включается здравый смысл, они привыкают манипулировать с числами и не умеют анализировать ответ.
Эта беда усугубляется введением буквенных обозначений в младшей школе, которое якобы готовит детей к восприятию алгебры. Это глубокое заблуждение, лучший способ готовить к алгебре - это уверенное владение числами, выработкой чувства числа (много - мало, делится - не делится, целое - дробное, положительное - отрицательное), когда можно на глаз оценить реалистичность ответа. Если же ребенок научился манипулировать с буквами, не освоив числа, то он и числа воспринимает как значки.

Площадь - это?
В школе говорят, что площадь прямоугольника - это произведение его длины и ширины. При этом оказывается, что многие дети не чувствуют, что такое площадь, запросто путают ее с периметром. Простейший тест: я рисую квадрат 6х6 клеток и спрашиваю, сколько в нем клеток. Не раз наблюдал картину, как пятиклассник пальцем считает клеточки, причем нередко по спирали.
Вместе с тем идея счета клеток по строкам и столбцам весьма плодотворна. Например, в школе не доказывается перестановочный закон умножения (коммутативность), а ведь это так просто и наглядно. Рассмотрим прямоугольник axb клеток и посчитаем число клеток в нем двумя способами. С одной стороны, это a строк, по b клеток в каждой, а с другой стороны, это b столбцов по a клеток в каждом, следовательно, ab = ba.
Еще пример, уже нестандартной задачи. Можно ли в квадратной таблице 3х3 расставить 9 чисел так, чтобы в каждой строке сумма чисел равнялась 10, а в каждом столбце - 20? Идея та же самая: допустим, что расставить можно. Тогда посчитаем сумму всех чисел в таблице двумя способами: по строкам получится 30, а по столбцам - 60, но от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Полученное противоречие доказывает, что такой таблицы быть не может.

Что такое отрицание
Только что мы рассмотрели доказательство «от противного», то есть предположили, что некоторое утверждение выполнено, а это привело к противоречию, следовательно, верно обратное утверждение. Решение от противного довольно часто используется в школе, однако специальных упражнений на построение отрицаний в учебнике нет, и это приводит к непониманию.
На кружке я предлагаю задачу: назовем день чудесным, если ни один ученик не получил двойку. Дайте определение обычного дня (который нельзя назвать чудесным). Большинство шестиклассников говорят, что это день, когда все получили двойки. Такие дети считают, что отрицание - это противоположность, крайность. Приходится им объяснять, что отрицание - это нарушение условия, то есть день называется обычным, если хотя бы один ученик получил двойку.
Требуется немалый тренинг, чтобы дети действительно усвоили способ построения отрицания, а без этого они не смогут применять принцип доказательства от противного. Например, дадим определение: контрольная называется трудной, если каждый ученик не решил хотя бы одну задачу. Какую контрольную нельзя назвать трудной? Ответ: контрольная называется нетрудной, если есть ученик, который решил все задачи.

Краткие итоги
Когда дети учатся думать, то заниматься им намного интереснее, чем просто повторять набор правильных действий без понимания их сути. Этим отличается обучение от натаскивания, чем, кстати, грешат репетиторы. Как правило, результат обучения считается успешным, если ученик научился решать типовые задачи. Но что значит научился? Практика показывает, что натасканный ученик легко ошибается, если формулировка задачи хоть немного отличается от стандартной.
Да и вообще, зачем учить решать стандартные задачи? Зачем учить умножать в столбик, если калькулятор делает это быстрее и надежнее? Я обязательно задаю этот вопрос своим ученикам, чтобы они задумались, что есть главное в обучении математике. Немногие догадываются, что для того, чтобы научиться думать. Но однажды я услышал поразительный ответ от пятиклассника, он сказал: «А я и знать не хочу - все равно заставят». Мне стало за него страшно...
Надеюсь, приведенных примеров достаточно, чтобы иметь право повторить формулу М.В.Ломоносова, которую когда-то писали на обложках учебников по математике, а теперь перестали: «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит». Эта формула на все времена, ее надо повторять каждому учителю перед началом урока, тогда дети станут лучше учиться, и государство получит лучших работников.

Александр КОВАЛЬДЖИ, председатель приемной комиссии лицея «Вторая школа»