Математика начинается с удивления

Пока же они присутствуют на уроке очень редко. Учителя объясняют это просто - да, дети с удовольствием решают занимательные задачи, однако на них нет времени. В результате школа и затейные жанры существуют в параллельных мирах - на уроках математики дети откровенно скучают, а после учебы, проходя мимо киоска, порой покупают сборник судоку или какуро и часами решают их.

Вот одна из самых больных тем. Учителя знают, как нелегко подобрать для учеников задания, в которых требуется не решать примеры, а конструировать их по готовому ответу. Головоломки с одинаковыми цифрами - разновидность таких «обратных» задач, пока еще в должной степени не оцененная педагогами по достоинству. Если в традиционных математических примерах требуется произвести определенные вычисления и получить ответ, то здесь по имеющемуся ответу следует смоделировать исходный пример.

По моему убеждению, регулярное решение головоломок с одинаковыми цифрами помогает в кратчайшие сроки усовершенствовать математический аппарат любого школьника. В процессе составления подобных заданий легче запоминаются таблицы сложения и умножения, приобретаются необходимые вычислительные навыки.

Практика показывает, что эти головоломки с азартом решают даже дети, которые не любят математику. Почему? Обычно все начинается с удивления.

«Как это можно двойку выразить тремя пятерками?» - спрашивает себя школьник.

Как? А вот так: 2 = (5 + 5) : 5.

Ребенок показывает задачу родителям. И вскоре подобные головоломки решают вся семья, весь класс, вся школа!

Сто без нолей

Первое упоминание о математической затее, связанной с одинаковыми цифрами, я нашел в книге «Занимательные и увеселительные задачи, изданные Иваном Буттером» (М., 1831). На странице 3 помещена «Задача 1» следующего содержания:

«Написать сто без нолей» (так в книге - «нолей», а не «нулей»).

Ниже приводятся два ответа:

«С (латинское «це» в римской нумерации значит 100); также 999/9, сто».

Из зарубежных авторов глубоко исследовал задания с одинаковыми цифрами Генри Дьюдени, который писал: «Меня постоянно спрашивают о старой головоломке «Четыре четверки». Я опубликовал ее в 1899 г., но потом выяснил, что впервые она была опубликована в первом томе журнала «Knowlege» за 1881 г. С тех пор к ней обращались различные авторы. Формулируется головоломка так: «Найти все возможные числа, которые можно получить из четырех четверок (не больше и не меньше) с помощью различных арифметических знаков». Например, число 17 можно представить в виде 4 · 4 + 4 : 4 и т. д.»

В царстве смекалки

Событием начала прошлого века стал трехтомник Емельяна Игнатьева «В царстве смекалки, или Арифметика для всех» (СПб., 1908-1911). Заданиям с одинаковыми цифрами там отведен раздел, названный «Новый род задач». В нем приведено пять головоломок, которые с той поры кочуют из сборника в сборник. Вот одна из самых популярных: «Написать 31 пятью тройками».

Варианты ответов: 33 – 3 + 3 : 3 и 33 – (3 + 3) : 3.

Вскоре после выхода в свет книг Е.И.Игнатьева числовые головоломки стали популярны в России и появились на страницах пособий многих авторов и составителей. В их числе Н.Н.Аменицкий, И.П.Сахаров. «Забавная арифметика» (М., 1910), А.В.Сатаров. «Живая арифметика в часы досуга» (М., 1912) и другие. Обширный список подобных книг приведен на странице http://suhin.narod.ru/bibl6.htm.

Доктор занимательных наук

Большой шаг вперед в разработке числовых головоломок связан с именем мастера занимательного жанра Якова Перельмана. Желающим побольше узнать об этом удивительном человеке рекомендую прочитать книгу Г.И.Мишкевича «Доктор занимательных наук» (М., 1986). Блестящий популяризатор науки не мог не обратить внимания на задания, позволяющие детям играть с цифрами. В книге «Для юных математиков» (Л., 1925) он привел такую задачу:

«Нужно выразить 16 с помощью четырех пятерок». (16 = 55 : 5 + 5).

Вот некоторые другие головоломки мастера:

«Четырьмя двойками написать 23». (22 + 2 : 2).

«Четырьмя двойками написать число 111». (222 : 2).

«Четырьмя различными способами выразите 100 пятью одинаковыми цифрами».

Ответы, приведенные Я.И.Перельманом:

111 – 11 = 100;

33 · 3 + 3 : 3 = 100;

5 · 5 · 5 – 5 · 5 = 100;

(5 + 5 + 5 + 5) · 5 = 100.

Добавлю, что существует пятый способ:

100 = 5 · 5 · (5 – 5 : 5), найденный Б.А.Кордемским (1965),

и шестой (с девятками), опубликованный мной (2003):

100 = (99 · 9 + 9) : 9.

Только ли забава?

С тех пор решение головоломок с одинаковыми цифрами стало любимым развлечением российских и зарубежных школьников. Но, увы, лишь забавой.

Мне показалось важным систематезировать эти задачи, ограничив область исследований использованием четырех основных математических действий и применением скобок, что представляет интерес прежде всего для начальной школы, а также для пятого и шестого классов.

А еще я разработал новые головоломки. В результате моя коллекция составила более 1600 задач.

Вот основные темы: «Задачи с единицами», «Задачи с двойками», «Задачи с девятками», «Сложные задачи с одинаковыми цифрами», «Задачи с использованием только знаков сложения», «Задачи с использованием знаков сложения и вычитания», «Задачи на равенства».

Уверен, подобные задачи полезны всем школьникам: ученики начальных классов приобретут первичные вычислительные навыки, а старшеклассники смогут развить свои творческие и комбинаторные способности. Но предлагать их детям следует не от случая к случаю, а систематически, продуманно.

Игорь СУХИН, кандидат педагогических наук, старший научный сотрудник Института теории и истории педагогики РАО

Головоломки с одинаковыми цифрами от Игоря Сухина

Задачи с использованием знаков сложения и вычитания

В следующих задачах некое целое число требуется выразить через некоторое количество одинаковых цифр, при этом разрешается использовать только знаки «плюс» и «минус» (скобки не применять). В процессе вычислений не должны получаться отрицательные числа.

Счет от 0 до 10

Двумя единицами изобразите число 0. (1 – 1).

Выразите число 2 с помощью двух цифр 1. (1 + 1).

Получите число 1 посредством трех единичек. (1 + 1 – 1 или 1 – 1 + 1).

Запишите число 3 с помощью трех цифр 1. (1 + 1 + 1).

Получите число 4 посредством двух цифр 2. (2 + 2).

Представьте число 6 с помощью трех двоек. (2 + 2 + 2).

Получите число 0 посредством двух цифр 6. (6 – 6).

Тремя семерками напишите число 7. (7 – 7 + 7).

Представьте 0 с помощью двух цифр 8. (8 – 8).

С помощью трех девяток изобразите число 9. (9 – 9 + 9).

Изобразите число 4 наименьшим количеством одинаковых цифр. (2 + 2).

Напишите число 7 минимальным количеством одинаковых цифр. (7 – 7 + 7).

Двумя различными способами выразите число 9, используя минимальное количество одинаковых цифр. (3 + 3 + 3 или 9 – 9 + 9).

Счет от 0 до 100

Напишите число 10 тремя единицами. (11 – 1).

Выразите число 21 пятью цифрами 1. (11 + 11 – 1).

Представьте число 12 с помощью как можно меньшего количества одинаковых цифр. (6 + 6).

Напишите число 13 минимальным количеством одинаковых цифр. (11 + 1 + 1).

Выразите число 15 посредством минимального количества одинаковых цифр. (5 + 5 + 5).

Выразите число 19 посредством минимального количества одинаковых цифр. (11 + 11 – 1 – 1 – 1).

Представьте число 20 с помощью как можно меньшего количества одинаковых цифр. (22 – 2).

Напишите число 45 минимальным количеством одинаковых цифр. (55 – 5 – 5).

Изобразите число 90 наименьшим количеством одинаковых цифр. (99 – 9).

Задачи с использованием четырех арифметических действий

Скобки не использовать; в процессе вычислений не должны получаться отрицательные и дробные числа.

Счет от 0 до 100

Напишите число 1 тремя двойками. (2 – 2 : 2).

Изобразите число 13 посредством четырех двоек. (22 : 2 + 2).

Выразите число 23 пятью цифрами 2. (22 + 2 – 2 : 2).

Запишите число 33 посредством пяти двоек. (22 + 22 : 2).

Выразите число 6 тремя тройками. (3 · 3 – 3).

Напишите число 14 с помощью четырех цифр 3. (33 : 3 + 3).

Запишите число 20 пятью цифрами 3. (3 · 3 + 33 : 3).

Представьте число 60 с помощью пяти цифр 3. (3 · 3 · 3 + 33).

Изобразите число 9 четырьмя цифрами 4. (4 + 4 + 4 : 4).

Выразите число 17 посредством четырех цифр 4. (4 · 4 + 4 : 4).

Изобразите число 27 пятью цифрами 4. (4 · 4 + 44 : 4).

Выразите число 36 пятью четверками. (4 · 4 + 4 · 4 + 4).

Представьте число 43 при помощи четырех четверок. (44 – 4 : 4).

Изобразите число 55 пятью цифрами 4. (44 + 44 : 4).

Запишите число 68 четырьмя четверками. (4 · 4 · 4 + 4).

Выразите число 16 посредством четырех пятерок. (55 : 5 + 5).

Изобразите число 26 четырьмя цифрами 5. (5 · 5 + 5 : 5).

Запишите число 35 посредством четырех пятерок. (5 · 5 + 5 + 5).

Представьте число 50 четырьмя пятерками. (5 · 5 + 5 · 5).

Представьте число 80 четырьмя пятерками. (55 + 5 · 5).

Выразите число 17 посредством четырех цифр 6. (66 : 6 + 6).

Напишите число 25 пятью шестерками. (6 · 6 – 66 : 6).

Изобразите число 35 четырьмя цифрами 6. (6 · 6 – 6 : 6).

Выразите число 48 посредством четырех цифр 6. (6 · 6 + 6 + 6).

Представьте число 55 с помощью пяти шестерок. (66 – 66 : 6).

Напишите число 77 пятью шестерками. (66 + 66 : 6).

Выразите число 4 с помощью четырех цифр 7. (77 : 7 – 7).

Представьте число 13 с помощью четырех цифр 7. (7 + 7 – 7 : 7).

Выразите число 25 с помощью пяти семерок. (7 + 7 + 77 : 7).

Представьте число 38 с помощью пяти семерок. (7 · 7 – 77 : 7).

Напишите число 50 четырьмя семерками. (7 · 7 + 7 : 7).

Представьте число 60 с помощью пяти семерок. (7 · 7 + 77 : 7).

Представьте число 15 с помощью четырех восьмерок. (8 + 8 – 8 : 8).

Изобразите число 19 посредством четырех цифр 8. (88 : 8 + 8).

Выразите число 24 с помощью четырех цифр 8. (88 – 8 · 8).

Изобразите число 25 пятью восьмерками. (8 + 8 + 8 + 8 : 8).

Представьте число 27 с помощью пяти восьмерок. (8 + 8 + 88 : 8).

Напишите число 53 пятью цифрами 8. (8 · 8 – 88 : 8).

Изобразите число 55 пятью восьмерками. (8 · 8 – 8 : 8 – 8).

Выразите число 63 с помощью четырех цифр 8. (8 · 8 – 8 : 8).

Напишите число 80 четырьмя цифрами 8. (8 · 8 + 8 + 8).

Представьте число 95 с помощью пяти восьмерок. (88 + 8 – 8 : 8).

Выразите число 99 с помощью пяти цифр 8. (88 + 88 : 8).

Представьте число 17 с помощью четырех цифр 9. (9 + 9 – 9 : 9).

Выразите число 20 посредством четырех девяток. (99 : 9 + 9).

Изобразите число 26 пятью цифрами 9. (9 + 9 + 9 – 9 : 9).

Напишите число 29 пятью девятками. (9 + 9 + 99 : 9).

Представьте число 70 с помощью пяти цифр 9. (9 · 9 – 99 : 9).

Напишите число 80 четырьмя цифрами 9. (9 · 9 – 9 : 9).

Выразите число 88 посредством пяти девяток. (99 – 99 : 9).

Напишите число 92 пятью девятками. (9 · 9 + 99 : 9).