Вера Александровна: Что нужно было делать? Я уже говорила, что там в основном получаются однородные уравнения. Давайте посмотрим. Итак, первое уравнение. Вопросы есть?

Молчание.

- Второе...

Молчание.

- Пятое. Здесь что следует сделать? Рассмотреть 4x как какой угол?

- Как двойной угол.

Ребята отвечают с места. Иногда учительнице приходится напоминать о необходимости поднять руку. Просто чтобы избежать галдежа, а не потому что «положено».

А вот опоздавшие чувствуют себя далеко не так свободно, входят сконфуженно, стараясь побыстрее проскользнуть на место.

Вера Александровна: Девочки, мы уже говорили с вами. На один автобус раньше выезжайте.

Припозднившейся на десять минут девочке, молчаливо пробежавшей на свое место, «достается» небольшой сатирический выпад:

- Простите, пожалуйста, и здравствуйте! У нас ребята ездят издалека. Попадают в пробки каждый день. Никак из этих пробок мы не выйдем...

На этом все. Тема опозданий закрыта - нет времени обсуждать ее долго. Как и ругать. А для похвал нет особого повода. Сделать домашнее задание - не заслуга. Другое дело - отметить ученика, который готов ответить на каждый вопрос:

- Ну что, Женя, один ты у нас работаешь? Давай.

Проверили домашнее задание, переходим к основной теме.

Вера Александровна: Сейчас на уроке мы будем выводить последний блок формул по тригонометрии. Теперь у вас большой набор формул, и ваша задача состоит в том, чтобы выбрать самые рациональные. Поэтому прежде чем решать, посмотрите, что лучше подходит. Ведь можно собирать все правила и одно уравнение решать на трех страницах. А можно не больше чем на полстраницы, если разумно подойти. Итак, тема сегодняшнего урока «Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы». Ну поскольку это последний блок, я думаю, мы эти формулы выведем сами. У нас есть достаточный запас знаний для того, чтобы это сделать. Карпенко, к доске. Записываем...

Лирическое отступление

Десятиклассники красногорской школы №4 Московской области воевали с тригонометрией, а я сидела на задней парте и считала. В восьмой класс я перешла в 1985 году. Значит... прошло двадцать лет. Эти формулы мы выводили именно в восьмом. А Вера Александровна Афанасьева, наша любимая учительница математики, нисколько не изменилась с тех пор. Да и что могло измениться? Я училась в другой школе города... Еще мы ходили в форме. И уроки длились 45 минут. А Вера Александровна все та же. Величественная, красивая - она мне всегда немного напоминала актрису Малого театра Ермолову. Спрашиваю ребят:

- Какая Вера Александровна учительница?

- Хорошая. Хороший человек.

- Но она ведь строгая. Наверное, страшно прийти на урок без домашнего задания.

- Нет. Страшно не прийти совсем.

Точно. Так было и у нас. Если принес с собой черновик, по которому видно, как ты старался решить несчастное уравнение, - никогда не поставит двойку за отсутствие правильного ответа. Еще и похвалит за труд. Вера Александровна всегда уважала тружеников. И терпеть не могла лентяев. Для нас она была просто воплощением трудолюбия. Мы знали, что к нашей математичке можно в любой день явиться на «нулевой» урок с утра пораньше - она всегда в классе. Зато на занятиях пощады не жди - работа до седьмого пота. Алгебру и геометрию у нас ставили первыми уроками... Вот и у этих ребят то же самое. Они ворчат:

- Зарядка такая... Хорошо, когда первые уроки история, биология. Но не алгебра с физикой!

Мальчишки не так многословны, как девочки, но точны:

- Вера Александровна - это сила!

Начинается работа у доски. Вера Александровна начеку: помогает, если ученик зашел в тупик, комментирует, «ловит» ошибки. Поправлять - не поправляет, это могут сделать и сами ребята. Скорее красногорский математик - олицетворение и защитница порядка. Порядок должен быть во всем. Прежде чем решать пример, надо написать номер упражнения. Десятиклассники знают, что «неприлично» молча писать вычисления, надо пояснять свои действия. А уж подсказывать в такой ситуации вообще бесполезно...

Вера Александровна: Давайте выполним преобразование, что получится?.. Итак, что же мы получили? Как это прочитать словами? Ну-ка, Сережа, попробуй прочитать. Мы сказали, что не очень прилично в левой части формулы оставлять двойку. Мы ее убрали. Что у нас остается?

Сережа читает. Другой ученик выводит следующую формулу. По дороге ошибается.

Вера Александровна: Сам же запутался, неправильно раскрыл скобки. Пожалуйста, напиши как положено.

Чего ради порядок? Ради выяснения истины. И в конечном итоге приобретения знаний. Вот «цена» труда на уроке. Еще несколько ценностей - свой вариант решения (естественно, он должен быть правильный!), короткое решение.

Формулы выведены и записаны сбоку на доске, в своеобразной справочной таблице.

- А теперь, ребята, посмотрите, пожалуйста. Эти формулы быстро забываются. Давайте попробуем найти какую-то закономерность, понять, как лучше их запомнить. Какие подводные камни или, наоборот, что привлекательного есть в каждой формуле?

Методическое отступление

На перемене Вера Александровна объясняет мне: «Я им пыталась доказать, что там, где произведение sin на cos и произведение косинусов, идут одни и те же функции - косинус суммы и косинус разности, синус суммы, синус разности, а вот произведения синусов - там все наоборот, разность выражается через косинусы, сначала идет минус, а затем плюс».

Афанасьева называет это «лошадиными правилами». Они не прописаны ни в одной программе, не напечатаны ни в одном учебнике.

Такие «правила» есть и для тригонометрических уравнений вообще: «Если есть показатель степени, снижай его, если есть произведение - записывай в виде суммы, если есть сумма - записывай в виде произведения. В результате этих преобразований куда-нибудь выйдешь и решишь».

«Хитрости» мне нравятся, но чувствую себя провинившейся ученицей: за двадцать лет многое забылось. Хотя - чудеса! - в общих чертах помню тему, даже пальцы привычно выводят буквы «альфа» и «бета». Признаться учительнице в своих пробелах не могу. Прошу на несколько дней учебник. Афанасьева занимается с 10-м классом по

А.Г.Мордковичу «Алгебра и начала анализа». У Мордковича есть и задачник, удобный тем, что в нем есть упражнения трех уровней сложности: просто задания, задания, помеченные полыми кружочками, задания под чертой и задания самые трудные - рядом с ними заштрихованные кружки.

При изучении этой темы проблем обычно не возникает. Единственная сложность: запомнить формулы, уж очень редко они встречаются в школьной программе. А вот в вузовской ребятам еще предстоит увидеть старых знакомых.

Вера Александровна: Давайте попробуем применить эти формулы при решении различных примеров. Итак, №55. Здесь давайте так, Ира решает за доской, Паша тоже за доской, чтобы остальные не смущались, не смотрели.

Ребята проходят за трехстворчатую доску и пишут нечто, невидимое классу.

Вера Александровна: Тут мы просто выполняли преобразования. А теперь уже будем целенаправленно применять к решению уравнений. Витя, ты начинаешь. Мы должны проговаривать вслух. И быстрее запомним. Надо преобразовать произведение, но тут уже не два, а три множителя.

Ребята сменяются у доски, а их учительница - «неугомонный дух»:

- Есть другие ответы? Вопросы есть? Здесь надо смотреть хотя бы на один шаг вперед. Какое задание в следующем упражнении?

- Доказать тождество.

Педагогическое отступление

Вера Александровна размышляет:

- Сейчас много говорится о минимуме и очень мало о качестве знаний. Дают на алгебру три часа. Один час на формулы двойного угла. Что за один час можно сделать? Вывести формулы, да. На уроке хоть пять минут надо говорить о домашнем задании, 10 минут - надо вывести эти формулы. Остается 20 минут. За это время чему можно научить? Слышал? Слышал. Видел? Видел. На доске было написано? Пошли вперед. Вот что такое минимум. Если не разрабатывать авторские программы и не выбивать один или два лишних часа, то получается, ничего нельзя дать. Учителям со стажем обидно. Поэтому я так прикипела к классам-вузам, которые в нашей школе возникли в начале 90-х.

Я спрашиваю:

- А для чего все это, Вера Александровна? Зачем нужно больше часов?

- Чтобы дать знания и не закрывать двери в институт. Но в первую очередь мне хочется, чтобы ребята знали предмет. А вуз - это уже следствие.

- Но кому-то в вуз не нужно, нужно просто научиться логически размышлять...

- Готовясь к уроку, я выстраиваю логику заданий. Так, чтобы одно связывалось с другим. Если есть время дать более трудные примеры, тогда невольно начинаешь искать связь между предметами...

- ...И начинаешь логически размышлять, как мы когда-то научились у вас. Но когда много часов, получается перегрузка.

- Да. А если класс сильный, то ему и химии дают больше, и биологии, и литературы. Начинаются олимпиады - на физику идут они, на математику они, на русский они. Как только у нас стали создаваться классы-вузы, у нас появилось много победителей различных олимпиад.

Работа на уроке идет «без просветов». Следующее задание - логическое продолжение предыдущего. Сложнее, интереснее. Требуется «шевелить мозгами», а не механически подставлять формулы.

Вера Александровна: Задание №566(б). Давайте вспомним, как выяснить, при каких значениях x данные выражения будут представлять геометрическую прогрессию? Что надо вспомнить? Совершенно верно: характеристические свойства геометрической прогрессии. Настя, помнишь?

Настя отвечает.

- Что она забыла сказать? (Подсказывает.)

- Ты сказала «корень квадратный». Без корня можно записать характеристическое свойство? Паша?

Паша вскакивает.

Вера Александровна: Итак, какое у нас получится равенство? Назарова, а ты иди реши за доской, чтобы можно было проверить.

Финал урока.

Вера Александровна: Поднимите руку, кто запомнил формулы, которые мы вывели.

Руки взмывают ввысь. Я едва удерживаюсь, чтобы не последовать общему примеру. Дежавю...