Согласно уставу Академии наук Московский университет, открытый 26 апреля 1755 года, состоял из трех факультетов: юридического, медицинского и философского. Для подготовки молодежи к университету были учреждены дворянская и разночинская гимназии. Недостаточность отпущенных средств была в некоторой мере компенсирована щедрыми пожертвованиями меценатов Демидовых. Важные права и преимущества, гарантированные Высочайшим покровительством, состояли в том, что университет подчинялся непосредственно Правительствующему Сенату, профессора и учителя без санкций куратора и директора не подлежали никакому другому суду, кроме университетского. Чиновники университета были освобождены от вычетов из жалования, всяких других сборов и повинностей.

Директор был посредником между университетом и куратором. Его обязанностью было править доходами университета и стараться о его благосостоянии, учреждать вместе с профессорами науки в университете и учение в гимназии, сноситься и вести переписку со всеми присутственными местами по делам, касающимся до университета, представлять обо всем куратору на его утверждение.

Первые годы Московского университета были насыщены многими событиями. Из Санкт-Петербурга переводятся последователи Ломоносова магистры Н.Н.Поповский, А.А.Барсов. 25 апреля 1756 года открылась университетская типография, затем началось издание газеты «Московские ведомости», а также необходимых учебных пособий и первого учебника - книги Я.А. Коменского «Мир чувственных вещей в картинках». Энергичный директор ходатайствовал перед Академией наук по поводу комплектования фонда библиотеки, приобретения оборудования для физического кабинета.

16 октября 1756 года прошло первое заседание университетской Конференции (Ученого совета): обсуждали распределение педагогической нагрузки, положение о публичных лекциях, нужды гимназий. Директор по настоянию куратора торопил профессоров с подготовкой учебных программ. 17 декабря прошел публичный диспут студентов на философские темы. Такие диспуты предполагалось проводить в конце каждого полугодия.

Исследователи отмечают демократизм Аргамакова, который дал вольную нескольким своим крепостным, чтобы впоследствии ввести их в качестве учащихся либо технических служащих в университетскую корпорацию.

Умер Алексей Михайлович Аргамаков скоропостижно во время поездки в Петербург по университетским делам и похоронен на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры.